наверх
«Математика — наиболее совершенный способ водить самого себя за нос»
- Альберт Эйнштейн
Теорема Решение квадратных уравнений

Дано квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\), где a - константа не равная 0, b, c - произвольные константы, x - переменная

\[D = b^2 - 4ac\]

Решения уравнения равны:

\[\left\{ \begin{array}{l l} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} & \text{если } D > 0 \\ x_{1} = x_{2} = \frac{-b}{2a} & \text{если } D = 0 \\ \text{нет решений} & \text{если } D < 0 \end{array} \right.\]

 

Дано: 

\[\left\{ \begin{array}{l l} ax^2 + bx + c = 0 \\ a = const \neq 0 \\ b = const \\ c = const \end{array} \right.\]

Выделим полный квадрат:

\[ax^2 + bx + c = a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right) = a \left( x^2 + 2 \frac{b}{2a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) = a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2- \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) = 0\]

Разделим обе части уравнения на \(a \neq 0\) и перенесем неизвестные в левую часть уравнения

\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{(2a)^2}\]

Примем \(D = b^2 - 4ac\)

\[\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{D}{(2a)^2}\]

Заметим, что уравнение имеет смысл только при \(D \geq 0\)

Извлечем квадратный корень из обоих частей уравнения

\[x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{D}}{2a}\]

Выразим решения уравнения

\[x = - \frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{D}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]